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We describe a situation called pre-maxwellian involutive structure which implies for Lorentzian metrics the existence of a two dimensional abelian invertible group of isometries. Some consequences are presented.

Nous déterminons des conditions nécessaires et suffisantes pour qu'une variété lorentzienne (V4,g) possède une métrique g équivalente à
η + l ⊗ l où η est la métrique minkowskienne et l un champ de vecteurs isotropes réels. Les trajectoires de l sont de plus géodésiques, sans distorsion et avec divergence pour la métrique η et par voie de conséquence pour la métrique g.
Les métriques de ce type, solutions des équations du vide ont été étudiées par R. Kerr et A. Schild.

On procède à une analyse des hypothèses qui conduisent aux solutions de Brandon Carter des équations de Maxwell-Einstein. On montre, en outre, que la séparabilité «selon Schrödinger » est superflue et l'on interprète et affaiblit l'hypothèse de séparabilité «selon Hamilton-Jacobi ». [1]

Nous considérons les opérateurs auto-adjoints d'un plan pseudo-hermitien et nous obtenons leurs formes canoniques. Nous montrons que les changements de base dans ce plan sont les transformations spinorielles associées aux rotations propres du plan-temps de Minkowski.

Nous déterminons une famille de connexions métriques associées aux champs électromagnétiques non singuliers dans le vide. Dans une connexion particulière les équations de Maxwell s'expriment à l'aide de composantes irréductibles du tenseur de torsion.

Il existe une classe de connexions métriques dépendant de deux vecteurs arbitraires qui assurent le parallélisme d'un champ d'éléments plans non isotropes. Nous déterminons les coefficients de ces connexions et quelques propriétés de connexions particulières.

Nous étudions géométriquement et analytiquement la décomposition du tenseur de Riemann-Christoffel d'un espace de Riemann à quatre dimensions en composantes irréductibles. L'interprétation géométrique est donnée dans un espace cayléen ou pseudo-cayléen à trois dimensions C3 et dans l'espace C5 des droites de C3.

Le présent travail est consacré à la détermination locale de tous les espaces de Riemann à quatre dimensions à courbure totalement dégénérée. La question est traitée en rapport avec nos notes antérieures sur la détermination des composantes irréductibles du tenseur de courbure et des invariants de courbure. Nous mettons en particulier en évidence l'existence d'espaces dont tous les invariants sont nuls sans être pour autant localement euclidiens.

Suite de la communication parue dans le Bulletin précédent. Expressions tensorielles des invariants de courbure.

Null coordinates (cf. Kinnersley [1], case III, R. Debever [2]) and symmetric coordinates (cf. J. Plebanski [3]) used in type D electrovac solutions with cosmological constant are set in relation with each other. A consequence is drawn about new solutions with null orbits.

Nous définissons et caractérisons les espaces conformes récurrents. Nous appliquons cette notion à la recherche de solutions des équations de Maxwell-Einstein. Outre les solutions de Robinson-Traut-man nous explicitons des solutions nouvelles.

Nous déterminons les espaces de Riemann à quatre dimensions à signature hyperbolique normale admettant un champ de vecteurs isotropes récurrents. Ces espaces sont caractérisés par un groupe d'holonomie de dimension quatre ou un sous-groupe de ce groupe. Les différentes structures possibles sont explicitées. Le tenseur de Weyl de ces espaces est de classe II de Petrov ou de l'une de ses dégénérescences. Si la courbure scalaire est nulle, la classe est III ou N. On peut construire des espaces de ce type sur lequel est défini un champ électromagnétique singulier ou non singulier. Dans le cas du vide, la solution générale est indiquée.